Понятие координаты материальной точки и траектории движения. Кинематика
Контрольные работы. 10класс
Контрольная работа по теме «Кинематика материальной точки».
Базовый уровень
Вариант 1
А1. Траектория движущейся материальной точки за конечное время это
отрезок линии
часть плоскости
конечный набор точек
среди ответов 1,2,3 нет правильного
А3. Пловец плывёт против течения реки. Скорость течения реки 0,5 м/с, скорость пловца относительно воды 1,5 м/с. Модуль скорости пловца относительно берега равен
1) 2 м/с 2) 1,5 м/с 3) 1м/с 4) 0,5 м/с
А4.
Двигаясь прямолинейно, одно тело за каждую секунду проходит путь 5 м. Другое тело, двигаясь по прямой в одном направлении, за каждую секунду проходит путь 10м. Движения этих тел
А5. На графике изображена зависимость координаты X тела, движущегося вдоль оси ОХ, от времени. Какова начальная координата тела?
3) -1 м 4) - 2 м
А6. Какая функция v(t) описывает зависимость модуля скорости от времени при равномерном прямолинейном движении? (длина измеряется в метрах, время - в секундах)
1) v = 5t 2) v = 5/t 3) v = 5 4) v = -5
А7. Модуль скорости тела за некоторое время увеличился в 2 раза. Какое утверждение будет правильным?
ускорение тела возросло в 2 раза
ускорение уменьшилось в 2 раза
ускорение не изменилось
тело движется с ускорением
1) 1м/с 2 2) 1,2м/с 2 3) 2,0м/с 2 4) 2,4м/с 2
А9. При свободном падении тела его скорость (принять g=10м/с 2)
за первую секунду увеличивается на 5м/с, за вторую – на 10м/с;
за первую секунду увеличивается на 10м/с, за вторую – на 20м/с;
за первую секунду увеличивается на 10м/с, за вторую – на 10м/с;
за первую секунду увеличивается на 10м/с, а за вторую – на 0м/с.
1) увеличилось в 2 раза 2) увеличилось в 4 раза
3) уменьшилось в 2 раза 4) уменьшилось в 4 раза
Вариант 2
А1. Решаются две задачи:
а. рассчитывается маневр стыковки двух космических кораблей;
б. рассчитывается период обращения космических кораблей
вокруг Земли.
В каком случае космические корабли можно рассматривать как материальные точки?
только в первом случае
только во втором случае
в обоих случаях
ни в первом, ни во втором случае
1) 0 км 2) 109 км 3) 218 км 4) 436 км
А3. Когда говорят, что смена дня и ночи на Земле объясняется восходом и заходом Солнца, то имеют в виду систему отсчёта связанную
1) с Солнцем 2) с Землёй
3) с центром галактики 4) с любым телом
А4. При измерении характеристик прямолинейных движений двух материальных точек зафиксированы значения координаты первой точки и скорости второй точки в моменты времени, указанные соответственно в таблицах 1 и 2:
Что можно сказать о характере этих движений, предполагая, что он не изменялся
в промежутках времени между моментами измерений?
1)оба равномерные
2)первое - неравномерное, второе - равномерное
3)первое - равномерное, второе неравномерное
4)оба неравномерные
А5.
По графику зависимости пройденного пути от времени определите скорость
велосипедиста в момент времени t = 2 с.
1) 2 м/с 2) 3 м/с
3) 6 м/с 4) 18 м/с
А6.
На рисунке представлены графики зависимости пройденного в одном направлении пути от времени для трех тел. Какое из тел двигалось с большей скоростью?
1) 1 2) 2 3) 3 4) скорости всех тел одинаковы
А7.
Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке. Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке?
А8.
По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t=2с.
1) 2 м/с 2 2) 3 м/с 2 3) 9 м/с 2 4) 27м/с 2
А9.
В трубке, из которой откачан воздух, с одной и той же высоты одновременно сбрасываются дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел быстрее достигнет дна трубки?
1) дробинка 2) пробка 3) птичье перо 4) все три тела одновременно.
А10. Автомобиль на повороте движется по круговой траектории радиусом 50м с постоянной по модулю скоростью 10 м/с. Каково ускорение автомобиля?
1) 1 м/с 2 2) 2 м/с 2 3) 5 м/с 2 4) 0 м/с 2
Ответы.
| Номер задания | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | А8 | А9 | А10 |
| Вариант1 | 3 | 4 | 3 | 1 | 3 | 3 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| Вариант2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | 2 |
Профильный уровень
Вариант 1
А1. Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 10 м и упало на землю. Модуль перемещения при этом равен
1) 20м 2) 10м 3) 5м 4) 0м
А2. Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 5 м и упало на землю. Путь, пройденный телом равен
1) 2,5м 2) 10м 3) 5м 4) 0м
А3. Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый - со скоростью V , второй - со скоростью 4 V . Чему равна скорость первого автомобиля относительно второго?
1) 5V 2) 3V 3) -3V 4) -5V
А4. От самолета, летящего горизонтально со скоростью V , в точке А оторвался небольшой предмет. Какая линия является траекторией движения этого предмета в системе отсчета, связанной с самолетом, если пренебречь сопротивлением воздуха?
А5.
Две материальные точки движутся по оси ОХ по законам:
х 1 = 5 + 5t, х 2 = 5 - 5t (х - в метрах, t - в секундах). Чему равно расстояние между ними через 2 с?
1) 5м 2) 10м 3) 15м 4) 20м
А6. Зависимость координаты X от времени при равноускоренном движении по оси ОХ, дается выражением: X(t)= -5 + 15t 2 (X измеряется в метрах, время - в секундах). Модуль начальной скорости равен
А7. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R, = R и R 2 = 2R с одинаковыми скоростями. Сравните их центростремительные ускорения.
1) а 1 = а 2 2)a 1 =2a 2 3)a 1 =a 2 /2 4)a 1 =4a 2
Часть 2.
В1.
На графике представлена зависимость скорости движения от времени. Чему равна средняя скорость движения за первые пять секунд?
В2.
Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту , достиг максимальной высоты 4,05м. Сколько времени прошло от броска до того момента, когда его скорость стала направлена горизонтально?
Часть 3.
С1.
Координаты движущегося тела изменяются по закону X=3t+2, Y=-3+7t 2 . Найдите скорость тела через 0,5с после начала движения.
Вариант 2
А1. Мяч, брошенный вертикально вниз с высоты 3 м, отскочил от пола вертикально и поднялся на высоту 3 м. Путь мяча равен
1) -6м 2) 0м 3) 3м 4) 6м
А2. Камень, брошенный из окна второго этажа с высоты 4 м, падает на землю на расстоянии 3 м от стены дома. Чему равен модуль перемещения камня?
1) 3м 2) 4м 3) 5м 4) 7м
А3. Плот равномерно плывет по реке со скоростью 6 км/ч. Человек движется поперек плота со скоростью 8 км/ч. Чему равна скорость человека в системе отсчета, связанной с берегом?
1) 2 км/ч 2) 7 км/ч 3) 10 км/ч 4) 14 км/ч
А4. Вертолет равномерно поднимается вертикально вверх. Какова траектория движения точки на конце лопасти винта вертолета в системе отсчета, связанной с корпусом вертолета?
3) точка 4) винтовая линия
А5.
Материальная точка движется в плоскости равномерно и прямолинейно по закону: X = 4 + 3t, Y = 3 - 4t, где X,Y -координаты тела, м; t - время, с. Каково значение скорости тела?
1) 1м/с 2) 3 м/с 3) 5 м/с 4) 7 м/с
А6. Зависимость координаты X от времени при равноускоренном движении по оси ОХ, дается выражением: X(t)= -5t+ 15t 2 (X измеряется в метрах, время - в секундах).
Модуль начальной скорости равен
1)0м/с 2) 5 м/с 3) 7,5 м/с 4) 15 м/с
А7. Период равномерного движения материальной точки по окружности равен 2 с. Через какое минимальное время направление скорости изменится на противоположное?
1) 0,5 с 2) 1 с 3) 1,5 с 4) 2 с
Часть 2.
В1.
На графике представлена зависимость скорости V тела от времени t, описывающая движение тела вдоль оси ОХ. Определить модуль средней скорости движения за 2 секунды.
В2.
Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. Какова дальность полета камня, если через 2с после броска его скорость была направлена горизонтально и равна 5м/с?
Часть 3.
С1.
Тело, вышедшее из некоторой точки, двигалось с постоянным по модулю и направлению ускорением. Скорость его в конце четвертой секунды была 1,2м/с, в конце 7с тело остановилось. Найдите путь, пройденный телом.
Ответы.
| Номер задания | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | В1 | В2 | С1 |
| Вариант1 | 4 | 2 | 3 | 3 | 4 | 1 | 2 | 1,6 | 0,9 | 7,6 |
| Вариант2 | 4 | 3 | 3 | 1 | 3 | 2 | 2 | 0,75 | 20 | 4,2 |
Контрольная работа по теме «Законы Ньютона. Силы в механике».
Базовый уровень
Вариант 1
А1. Какое равенство правильно выражает закон Гука для упругой пружины?
1) F=kx 2) F x =kx 3) F x =-kx 4) F x =k | x |
А2. С каким, из перечисленных ниже тел связаны системы отсчета, которые нельзя считать инерциальными?
А. Парашютист, опускающийся с установившейся скоростью.
Б. Камень, брошенный вертикально вверх.
В. Спутник, движущийся по орбите с постоянной по модулю скоростью.
1) А 2) Б 3) В 4) Б и В
А3. Вес имеет размерность
1) массы 2) ускорения 3) силы 4) скорости
А4. Тело вблизи поверхности Земли находится в состоянии невесомости , если оно движется с ускорением, равным ускорению свободного падения и направленным
1) вертикально вниз 2) вертикально вверх
3) горизонтально 4) под острым углом к горизонту.
А5. Как изменится сила трения скольжения при движении бруска по горизонтальной плоскости, если силу нормального давления увеличить в 2 раза?
1) не изменится 2) увеличиться в 2 раза
3) уменьшится в 2 раза 4) увеличиться в 4 раза.
А6. Какое соотношение между силой трения покоя, силой трения скольжения и силой трения качения справедливо?
1) F тр.п =F тр >F тр.к 2) F тр.п >F тр >F тр.к 3) F тр.п F тр.к 4) F тр.п >F тр =F тр.к
А7. Парашютист пускается равномерно со скоростью 6м/с. Сила тяжести, действующая на него, равна 800Н. Какова масса парашютиста?
1) 0 2) 60 кг 3) 80 кг 4) 140 кг.
А8. Что является мерой взаимодействия тел?
1) Ускорение 2) Масса 3) Импульс. 4) Сила.
А9. Как связаны между собой изменение скорости и инертность тела?
А. Если тело более инертно, то изменение скорости больше.
Б. Если тело более инертно, то изменение скорости меньше.
В. Менее инертно то тело, которое быстрее изменяет свою скорость.
Г. Более инертно то тело, которое быстрее изменяет свою скорость.
1) А и В 2) Б и Г 3) А и Г 4) Б и В.
Вариант 2
А1.
Какая из приведенных ниже формул выражает закон всемирного тяготения?
1) F=ma 2) F=μN 3) F x =-kx 4) F=Gm 1 m 2 /R 2
А2. При столкновении двух вагонов буферные пружины жесткостью 10 5 Н/м сжались на 10 см. Чему равна максимальная сила упругости , с которой пружины воздействовали на вагон?
1) 10 4 Н 2) 2*10 4 Н 3) 10 6 Н4) 2*10 6 Н
А3. Тело массой 100 г лежит на горизонтальной неподвижной поверхности. Вес тела приблизительно равен
1) 0Н 2) 1Н 3) 100Н 4) 1000 Н.
А4. Что такое инерция?
2) явление сохранения скорости тела при отсутствии действия на него других тел
3) изменение скорости под действием других тел
4) движение без остановки.
А5.
Какую размерность имеет коэффициент трения?
1) Н/кг 2) кг/Н 3) нет размерности 4) Н/с
А7. Ученик подпрыгнул на некоторую высоту и опустился на землю. На каком участке траектории он испытал состояние невесомости?
1) при движении вверх 2) при движении вниз
3) только в момент достижения верхней точки 4) во время всего полета.
А8. Какими характеристиками определяется сила?
А. Модуль.
Б. Направление.
В. Точка приложения.
1) А, В, Г 2) Б и Г 3) Б, В, Г 4) А, Б, В.
А9. Какие из величин (скорость, сила, ускорение, перемещение) при механическом движении всегда совпадают по направлению?
1) сила и ускорение 2) сила и скорость
3) сила и перемещение 4) ускорение и перемещение.
Ответы.
| Номер задания | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | А8 | А9 |
| Вариант1 | 3 | 4 | 3 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |
| Вариант2 | 4 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 4 | 4 | 1 |
Профильный уровень
Вариант 1
А1. Какие силы в механике сохраняют свое значение при переходе из одной инерциальной системы в другую?
1) силы тяготения, трения, упругости.
2) только сила тяготения
3) только сила трения
4) только сила упругости.
А2. Как изменится максимальная сила трения покоя , если силу нормального давления бруска на поверхность увеличить в 2 раза?
1) Не изменится. 2) Уменьшится в 2 раза.
3) Увеличится в 2 раза. 4) Увеличится в 4 раза.
А3. Брусок массой 200г скользит по льду. Определите силу трения скольжения, действующую на брусок, если коэффициент трения скольжения бруска по льду равен 0,1.
1) 0,2Н. 2) 2Н. 3) 4Н. 4) 20Н
А4. Как и во сколько раз нужно изменить расстояние между телами, чтобы сила тяготения уменьшилась в 4 раза?
1) Увеличить в 2 раза. 2) Уменьшить в 2 раза.
3) Увеличить в 4 раза. 4) Уменьшить в 4 раза
А5. На полу лифта, начинающего движение вниз с ускорением g, лежит груз массой m.
Каков вес этого груза?
1) mg. 2) m (g+a). 3) m (g-a). 4) 0
А6. После выключения ракетных двигателей космический корабль движется вертикально вверх, достигает верхней точки траектории и затем опускается вниз. На каком участке траектории космонавт находится в состоянии невесомости? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1) Только во время движения вверх. 2) Только во время движения вниз.
3) Во время всего полета с неработающим двигателем.
4) Во время всего полета с работающим двигателем.
Основные понятия кинематики и кинематические характеристики
Движение человека является механическим, то есть это изменение тела или его частей относительно других тел. Относительное перемещение описывает кинематика.
Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение, но не рассматриваются причины, вызывающие это движение . Описание движения как тела человека (его частей) в различных видах спорта, так и различных спортивных снарядов являются неотъемлемой частью спортивной биомеханики и в частности кинематики.
Какой бы материальный объект или явление мы не рассматривали, окажется что вне пространства и вне времени ничего не существует. Любой предмет имеет пространственные размеры и форму, находится в каком-то месте пространства по отношению к другому предмету. Любой процесс, в котором участвуют материальные объекты, имеет во времени начало и конец, сколько то длится во времени, может совершаться раньше или позже другого процесса. Именно по этому возникает необходимость измерять пространственную и временную протяжённости.
Основные единицы измерения кинематических характеристик в международной системе измерений СИ.
Пространство. Одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через Париж, была названа метром. Поэтому длина измеряется в метрах (м) и кратных ему единицах измерения: километрах (км), сантиметрах (см) и т. д.
Время – одно из фундаментальных понятий. Можно сказать, что это то, что отделяет два последовательных события. Один из способов измерить время – это использовать любой регулярно повторяющийся процесс. Одна восьмидесяти шести тысячная часть земных суток была выбрана за единицу времени и была названа секундой (с) и кратных ей единицах (минутах, часах и т. д.).
В спорте используются специальные временные характеристики:
Момент времени (t) - это временная мера положения материальной точки, звеньев тела или системы тел . Моментами времени обозначают начало и окончание движения или какой либо его части или фазы.
Длительность движения (∆t) – это его временная мера, которая измеряется разностью моментов окончания и начала движения ∆t = tкон. – tнач.
Темп движения (N) – это временная мера повторности движений, повторяющихся в единицу времени . N = 1/∆t; (1/c) или (цикл/c).
Ритм движений – это временная мера соотношения частей (фаз) движений . Он определяется по соотношению длительности частей движения.
Положение тела в пространстве определяют относительно некоторой системы отсчёта, которая включает в себя тело отсчёта (то есть относительно чего рассматривается движение) и систему координат, необходимую для описания на качественном уровне положение тела в той или иной части пространства.
С телом отсчёта связывают начало и направление измерения. Например, в целом ряде соревнований началом координат можно выбрать положение старта. От него уже рассчитывают различные соревновательные дистанции во всех циклических видах спорта. Тем самым в выбранной системе координат «старт – финиш» определяют расстояние в пространстве, на которое переместится спортсмен при движении. Любое промежуточное положение тела спортсмена во время движения характеризуется текущей координатой внутри выбранного дистанционного интервала.
Для точного определения спортивного результата правилами соревнований предусматривается по какой точке (пункт отсчёта) ведётся отсчёт: по носку конька конькобежца, по выступающей точке грудной клетки бегуна-спринтера, или по заднему краю следа приземляющегося прыгуна в длину.
В некоторых случаях для точного описания движения законов биомеханики вводится понятие материальная точка.
Материальная точка – это тело, размерами и внутренней структурой которого в данных условиях можно пренебречь .
Движение тел по характеру и интенсивности могут быть различными. Чтобы охарактеризовать эти различия, в кинематике вводят ряд терминов, представленных ниже.
Траектория – линия, описываемая в пространстве движущейся точкой тела . При биомеханическом анализе движений прежде всего рассматривают траектории движений характерных точек человека. Как правило, такими точками являются суставы тела. По виду траектории движений делят на прямолинейные (прямая линия) и криволинейные (любая линия, отличная от прямой).
Перемещение – это векторная разность конечного и начального положения тела . Следовательно, перемещение характеризует окончательный результат движения.
Путь – это длина участка траектории, пройденной телом или точкой тела за выбранный промежуток времени .
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Введение в кинематику
Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения независимо от приложенных сил.
Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета . Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета . В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с) .
Если положение тела по отношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое . Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы отсчета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но двигаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим системам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движущегося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежащая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, связанной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к системе координат, связанной с колесной парой.
Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по отношению к какой-либо выбранной системе отсчета . Задать движение тела относительно какой-либо системы отсчета -значит дать функциональные зависимости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности катания колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинематики начинают с кинематики точки.
§ 2. Способы задания движения точки
Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.
При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало отсчета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движении точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую координату как функцию времени:
Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории .
Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .
При векторном способе задания движения точки положение точки определяется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:
Это равенство называется векторным уравнением движения точки .
При координатном способе
задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , ,
как функции времени:
Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах . Движение точки в плоскости определяется двумя уравнениями системы (2.3), прямолинейное движение - одним.
Между тремя описанными способами задания движения существует взаимная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от координатного способа задания движения к векторному .
Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что
можно записать
А это и есть уравнение вида (2.2).
Задача 2.1.
Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если 
;
.
Решение.
Положение точки определяется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что
, .
Тогда из и :
; ; 
.
Подставляя значения , 
и , получаем уравнения движения точки :
; 
.
Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:
; .
Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде
.
Следовательно, траектория точки - эллипс.
Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде
.
Скорость и ускорение
Скорость точки
В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.
Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.
Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const
(предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.
Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с .
Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость v п
такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs
стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а)
. Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной)
.
При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t)
.
Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs , то ее средняя скорость равна:
vср = Δs/Δt .
Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.
Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю :
v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt .
Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt
.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.
При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v ). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п , равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.
Рис.1
Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис.1,а ), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.1,б ), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в ), то число степеней свободы становится равным трем – к x и φ добавляется угол поворота рамки ϕ .
Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z . Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r, 𝜑, z ) и сферической (r, 𝜑, 𝜙 ) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.
Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат xОy, то координаты x и y определяют положение точки на плоскости, акоордината z тождественно равна нулю.
Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой.
Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.
Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис.2). Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь.
Рис.2
Уравнение l 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют (2∙3-1=5) пять степеней свободы.
Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно (3∙3-3=6) шести.
Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть равно шести.
Поступательное движение
В кинематике, как и в статистике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые.
Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.
Кинематика твердого тела, также как и динамика твердого тела, является одним из наиболее трудных разделов курса теоретической механики.
Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:
1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;
2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.
Существует пять видов движения твердого тела:
1) поступательное движение;
2) вращение вокруг неподвижной оси;
3) плоское движение;
4) вращение вокруг неподвижной точки;
5) свободное движение.
Первые два называются простейшими движениями твердого тела.
Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.
2. Спарник АВ (рис.3) при вращении кривошипов O 1 A и O 2 B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.
Рис.3
Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках (рис.4) относительно Земли.
Рис.4
Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz . Возьмем в теле две произвольные точки А и В , положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами и (рис.5).
Рис.5
Проведем вектор , соединяющий эти точки.
При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (AB =const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор . Следовательно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.
Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени. Получим
Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Производные же от векторов и по времени дают скорости точек А и В . В результате находим, что
т.е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени одинаковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные по времени:
Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.
Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной.
При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела.
Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины <<скорость тела>> или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.
Рис.6
За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l .
Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.
Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:
В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .
При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω=const; v=const.
Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 =0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t 0 равен ∆φ=φ-φ 0 . Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:
Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.
Учитывая, что , получаем:
Формула связи между линейнойи угловой скоростью.
Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:
Где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt.
За время ∆t=Т тело проходит путь l =2πR. Следовательно,
При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно, направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:
Модуль , направление непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным.
Рис.8
Рис.9
Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t , т.е.
Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.
Если за промежуток времени ∆t=t 1 -t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ 1 -φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.
Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с -1), так как радиан - величина безразмерная.
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.
Рис.10
Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:
При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:
Вектор направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.
Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени ∆t=t 1 -t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω 1 -ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем,
Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения 1/T 2 (1/время 2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с 2 или, что то же, 1/с 2 (с- 2).
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и εимеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом
Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).
Рис.11 Рис. 12
2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами
В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a τ и a n , получим:
или окончательно:
Касательная составляющая ускорения a τ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле
Подставляя сюда значения a τ и a n , получаем
Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.
Рис.13 Рис.14
3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле
Таким образом, мо
Описание траектории
Принято описывать траекторию материальной точки при помощи радиус-вектора , направление, длина и начальная точка которого зависят от времени . При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны , находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях . При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны , направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой , радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности .И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.
Существенно, что форма траектории зависит от системы отсчёта , избранной для описания движения материальной точки. Так прямолинейное движение в инерциальной системе в общем случае будет параболическим в равномерно ускоряющейся системе отсчёта.
Связь со скоростью и нормальным ускорением
Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости v , нормальным ускорением a n и радиусом кривизны траектории ρ в данной точке:
Связь с уравнениями динамики
Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки. И наоборот, зная траекторию материальной точки в инерциальной системе отсчёта и её скорость в каждый момент времени, можно определить силы, действовавшие на неё.
Траектория свободной материальной точки
В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной . Траекторией такого движения является прямая линия , а само движение называется равномерным и прямолинейным.
Движение под действием внешних сил в инерциальной системе отсчёта
Если в заведомо инерциальной системе скорость движения объекта с массой m меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит поворот и движется по дуге с радиусом кривизны R , то объект испытывает нормальное ускорение a n . Причиной, вызывающей это ускорение, является сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть Второго закона Ньютона:
(1)Где есть векторная сумма сил, действующих на тело, его ускорение, а m - инерционная масса.
В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость , налагаются ограничения - связи . Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной .
Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.
Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах , входящих в уравнения Лагранжа . Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.
Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.
Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных, то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.
Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.
Движение под действием внешних сил в неинерциальной системе отсчёта
Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса , связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта) .
Иллюстрация
Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта.Вверху в инерциальной системе дырявое ведро с краской несут по прямой над поворачиваемой сценой. Внизу в неинерциальной (след от краски для стоящего на сцене наблюдателя)
Как пример, рассмотрим работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся - в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным , хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой , его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса , которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии .
Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене . В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе .
Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным , а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать , двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью v , определяемой задержкой Δt между моментами падения капель:
v = g Δt .Где g - ускорение свободного падения .
Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно , не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.
Таким образом, в неинерциальной системе:
- Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
- Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.
Примечания
Литература
- Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
- Фриш С. А. и Тиморева А. В. Курс общей физики, Учебник для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Том I. М.: ГИТТЛ, 1957
Ссылки
- http://av-physics.narod.ru/mechanics/trajectory.htm [неавторитетный источник? ] Траектория и вектор перемещения, раздел учебника по физике
Понятие материальной точки. Траектория. Путь и перемещение. Система отсчета. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения. Классификация механических движений.
Предмет механики . Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения.
Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.
Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.
Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса.
В статике исследуют условия равновесия системы тел.
Механи́ческим движе́нием теланазывается изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
Материальная точка - тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данных условиях движения, считая массу тела сосредоточенной в данной точке. Модель материальной точки – простейшая модель движения тела в физике. Тело можно считать материальной точкой, когда его размеры много меньше характерных расстояний в задаче.
Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение. Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета .
Система отсчета - тело отсчета вместе со связанными с ним системой координат и часами.
Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в точку О.
Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат , но также с помощью одной векторной величины - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то
либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки
Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки .
Траекторией материальной точки называется линия, описываемая пространстве этой точкой при ее движении (геометрическое место концов радиуса-вектора частицы). В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским.
Уравнения (1.2) и (1.3) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем уравнение траектории.
Длиной пути материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.
Вектором перемещения материальной точки называется вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки, т.е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени
|
|
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь
Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость , величину, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна (рис. 1.3).
Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t +Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине :
Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.
Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени . Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.
|
|
В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.
Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:
Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.
Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.
В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:
Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:
Величину пройденного точкой пути можно представить графически площадью фигуры ограниченной кривой v = f (t ), прямыми t = t 1 и t = t 1 и осью времени на графике скорости.
Закон сложения скоростей . Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:
В соответствии с определением (1.6):
Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).
При движении точки мгновенная скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости, т.е. изменение величины вектора скорости за единицу времени.
Вектор среднего ускорения . Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:
Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .
Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:
|
|
В проекциях на соответствующие координаты оси:
При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М 1 стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М в М 1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:
Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через и . Таким образом вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов:
Таким
образом, ускорение материальной точки
можно представить как векторную сумму
нормального и тангенциального ускорений
этой точки
По определению:
где - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент. Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории движения тела.
Раздел 1 МЕХАНИКА
Глава 1: О с н о в ы к и н е м а т и к и
Механическое движение. Траектория. Путь и перемещение. Сложение скоростей
Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение тел изучаетмеханика. Раздел механики, описывающий геометрические свойства движения без учёта масс тел и действующих сил, называется кинематикой .
Механическое движение относительно. Чтобы определить положение тела в пространстве, нужно знать его координаты. Для определения координат материальной точки следует, прежде всего, выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат.
Телом отсчёта называется тело, относительно которого определяется положение других тел. Тело отсчёта выбирают произвольно. Это может быть что угодно: Земля, здание, автомобиль, теплоход и т.д.
Система координат, тело отсчёта с которым она связана, и указание отсчёта времени образуют систему отсчёта , относительно которой рассматривается движение тела (рис.1.1).
Тело, размерами, формой и структурой которого можно пренебречь при изучении данного механического движения, называется материальной точкой . Материальной точкой можно считать тело, размеры которого намного меньше расстояний, характерных для рассматриваемого в задаче движения.
Траектория это линия, по которой движется тело.
В зависимости от вида траектории движения разделяются на прямолинейные и криволинейные
Путь – это длина траектории ℓ(м) (рис.1.2)
Вектор , проведенный из начального положения частицы в её конечное положение, называется перемещением этой частицыза данное время.
В отличие от пути, перемещение является не скалярной, а векторной величиной, так как оно показывает не только на какое расстояние, но и в каком направлении сместилось тело за данное время.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль перемещения не может быть больше пройденного пути. Например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по криволинейной траектории, то модуль вектора перемещения меньше пройденного пути ℓ. Путь и модуль перемещения оказываются равными лишь в одном единственном случае, когда тело движется по прямой.
Скорость – это векторная количественная характеристика движения тела
Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.
Мгновенная скорость, то есть скорость в данный момент времени – это векторная физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt.
