1의 복소근입니다.

와 함께그리고 자연수 N 2 .

복소수 지~라고 불리는 뿌리N– 씨, 만약에 지 N = 씨.

루트의 모든 값을 찾아보자 N– 오 복소수의 힘 와 함께. 허락하다 씨=| 씨|·(코사인 인수 씨+ 나· 죄 인수와 함께),ㅏ 지 = | 지|·(와운영 체제 인수 지 + 나· 죄 인수 지) , 어디 지뿌리 N- 오 복소수의 힘 와 함께. 그럼 그래야만 해 = 씨 = | 씨|·(코사인 인수 씨+ 나· 죄 인수와 함께). 그것은 다음과 같습니다
그리고 N· 인수 지 = 인수와 함께
인수 지 =
(케이=0,1,…) . 따라서, 지 =
(코사인
+ 나· 죄
), (케이=0,1,…) . 어떤 값이든 쉽게 알 수 있습니다.
, (케이=0,1,…) 해당 값 중 하나와 다릅니다.
,(케이 = 0,1,…, N-1) 여러번 2π. 그렇기 때문에 , (케이 = 0,1,…, N-1) .

예.

(-1)의 근을 계산해 봅시다.

, 확실히 |-1| = 1, 인수 (-1) = π

-1 = 1·(코사인 π + 나· 죄 π )

, (k = 0, 1).

= 나

임의의 유리수를 갖는 거듭제곱

임의의 복소수를 취해보자 와 함께. 만약에 N그러면 자연수 와 함께 N = | 씨| N ·(와 함께운영 체제 nArgs +나· 죄 nArg와 함께)(6). 이 공식은 다음 경우에도 적용됩니다. N = 0 (s≠0)
. 허락하다 N < 0 그리고 N 지그리고 초 ≠ 0, 그 다음에

와 함께 N =
(왜냐하면 nArg와 함께+i·sin nArg와 함께) = (왜냐하면 nArg와 함께+ 나는·죄 nArg와 함께) . 따라서 공식 (6)은 모든 경우에 유효합니다. N.

유리수를 취하자 , 어디 큐자연수, 및 아르 자형전체입니다.

그런 다음 아래 도 씨 아르 자형우리는 숫자를 이해할 것입니다
.

우리는 그것을 얻습니다 ,

(케이 = 0, 1, …, 큐-1). 이러한 값 큐조각, 분수가 환원될 수 없는 경우.

3강 복소수 수열의 극한

자연 인수의 복소수 함수를 호출합니다. 복소수의 수열지정되어 있으며 (와 함께 N ) 또는 와 함께 1 , 와 함께 2 , ..., 와 함께 N . 와 함께 N =a N + 비 N · 나 (N = 1,2, ...) 복소수.

와 함께 1 , 와 함께 2 , … - 시퀀스의 멤버; 와 함께 N – 일반회원

복소수 와 함께 = ㅏ+ 비· 나~라고 불리는 복소수 수열의 극한(씨 N ) , 어디 와 함께 N =a N + 비 N · 나 (N = 1, 2, …) , 어디에서

그건 모두들 앞에서 N > N불평등이 유지된다
. 유한한 한계를 갖는 수열을 호출합니다. 수렴하는순서.

정리.

복소수의 시퀀스를 위해서는 ( N ) (와 함께 N =a N + 비 N · 나)는 다음과 같은 숫자로 수렴됩니다. = ㅏ+ 비· 나, 평등을 유지하는 데 필요하고 충분합니다.임 ㅏ N = ㅏ, 임 비 N = 비.

증거.

다음과 같은 명백한 이중부등식을 바탕으로 정리를 증명하겠습니다.

, 어디 지 = 엑스 + 와이· 나 (2)

필요성.허락하다 임(와 함께 N ) = 초. 평등이 참임을 보여주자. 임 ㅏ N = ㅏ그리고 임 비 N = 비 (3).

분명히 (4)

왜냐하면
, 언제 N → ∞ , 불평등의 왼쪽에서 (4)는 다음과 같습니다.
그리고
, 언제 N → ∞ . 따라서 등식 (3)이 충족됩니다. 필요성이 입증되었습니다.

적절.이제 등식 (3)이 충족됩니다. 평등 (3)으로부터 다음이 나온다.
그리고
, 언제 N → ∞ , 그러므로 부등식 (4)의 우변으로 인해 다음과 같습니다.
, 언제 N→∞ , 수단 임(와 함께 N )=c. 충분성이 입증되었습니다.

따라서 복소수 시퀀스의 수렴 문제는 두 실수 시퀀스의 수렴과 동일하므로 실수 시퀀스 극한의 모든 기본 속성은 복소수 시퀀스에 적용됩니다.

예를 들어, 복소수 시퀀스의 경우 Cauchy 기준이 유효합니다. 일련의 복소수 순서대로 ( N ) 수렴하면 모든 경우에 필요하고 충분합니다.

, 그건 누구에게나N, 중 > N불평등이 유지된다
.

정리.

일련의 복소수를 보자( N ) 그리고 (지 N )는 c로 수렴하고 각각지, 그러면 등식이 참입니다임(와 함께 N 지 N ) = 씨 지, 임(와 함께 N · 지 N ) = 씨· 지. 그 사실이 확실히 알려진 경우지가 0이 아니면 평등이 참입니다.
.

삼각법 형태의 숫자.

무아브르의 공식

z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) 및 z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2)로 설정합니다.

복소수를 작성하는 삼각법 형식은 곱셈, 나눗셈, 정수 거듭제곱 및 n차 근 추출 작업을 수행하는 데 사용하기 편리합니다.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + 나는 죄( 1 +  2)).

두 복소수를 곱할 때삼각법 형식에서는 모듈이 곱해지고 인수가 추가됩니다. 나눌 때모듈이 나누어지고 인수가 뺍니다.

복소수를 곱하는 규칙의 결과는 복소수를 거듭제곱하는 규칙입니다.

z = r(코사인  + 나는 죄 ).

z n = rn (cos n + isin n).

이 비율을 이라고 합니다. 무아브르의 공식.

예제 8.1 곱과 숫자의 몫을 찾으세요:

그리고

해결책

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

예제 8.2 삼각함수 형식으로 숫자 쓰기

∙
-나) 7 .

해결책

나타내자
그리고 z 2 =
-나.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = 인수 z 1 = 아크탄 ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = 인수 z 2 = 아크탄
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5·2 7
=

2 9

§ 9 복소수의 근 추출

정의. 뿌리N복소수의 거듭제곱 z (표시
)는 w n = z를 만족하는 복소수 w입니다. z = 0이면
= 0.

z  0, z = r(cos + isin)이라고 하자. w = (cos + sin)을 표시하고 방정식 w n = z를 다음 형식으로 작성합니다.

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

따라서  n = r,

 =

따라서 주 =
·
.

이 값 중에는 정확히 n개의 다른 값이 있습니다.

따라서 k = 0, 1, 2, …, n – 1입니다.

복소 평면에서 이러한 점은 반지름의 원에 내접된 정n각형의 꼭지점입니다.
점 O에 중심이 있습니다(그림 12).

그림 12

예제 9.1모든 값 찾기
.

해결책.

이 숫자를 삼각함수 형태로 표현해 보겠습니다. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다.

w k =
, 여기서 k = 0, 1, 2, 3입니다.

w 0 =
.

승 1 =
.

승 2 =
.

승 3 =
.

복소 평면에서 이 점은 반지름이 있는 원에 내접하는 정사각형의 꼭지점입니다.
중심을 원점에 둡니다(그림 13).

그림 13 그림 14

예제 9.2모든 값 찾기
.

해결책.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, 여기서 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5입니다.

w 0 =
; 승 1 =
;

승 2 =
승 3 =

승 4 =
; w 5 =
.

복소 평면에서 이러한 점은 중심이 점 O(0; 0)에 있는 반경 2의 원에 내접된 정육각형의 꼭지점입니다(그림 14).

§ 10 복소수의 지수 형식.

오일러의 공식

나타내자
= cos  + isin  및
= cos  - isin  . 이러한 관계를 오일러의 공식 .

기능
지수 함수의 일반적인 속성이 있습니다.

복소수 z를 삼각법 형식 z = r(cos + isin)로 작성합니다.

오일러의 공식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

z = r
.

이 항목은 지수 형태복소수. 이를 사용하여 곱셈, 나눗셈, 지수화 및 근 추출에 대한 규칙을 얻습니다.

z 1 = r 1 인 경우 ·
그리고 z 2 = r 2 ·
?저것

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, 여기서 k = 0, 1, … , n – 1입니다.

예제 10.1대수적 형태로 숫자 쓰기

z =
.

해결책.

예제 10.2방정식 z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0을 풉니다.

해결책.

모든 복소수 계수의 경우 이 방정식에는 두 개의 근 z 1 및 z 1(일치 가능)이 있습니다. 이러한 근은 실제 사례와 동일한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 왜냐하면
부호만 다른 두 개의 값을 취하면 이 공식은 다음과 같습니다.

–9 = 9 e  i이므로 값은 다음과 같습니다.
숫자가 있을 것입니다:

그 다음에
그리고
.

해결책.

방정식의 필수 근은 다음 값이 됩니다.
.

z = –1의 경우 r = 1, arg(–1) = 입니다.

w k =
, k = 0, 1, 2.

수업 과정

9 지수 형태로 숫자를 나타내십시오.

10 지수 및 대수 형식으로 숫자 쓰기:

11 대수적 및 기하학적 형태로 숫자를 쓰십시오.

12개의 숫자가 주어집니다

이를 지수 형태로 표현하면 다음과 같습니다.
.

13 복소수의 지수 형식을 사용하여 다음 단계를 수행하십시오.

ㅏ)
비)

V)
G)